ESTATÍSTICA DESCRITIVA

A estatística descritiva ocupa-se da organização, apresentação e sintetização dos dados.

Dados

Tabela de dados de intervalo de tempo para cada intervalo de 0,10m de um carrinho movido a pilha de massa 0,250g com velocidade constante

Histograma

Histogramas são gráficos de barras verticais justapostas em um eixo contínuo. Neles, o eixo $x$ recebe a variável em estudo, ou seja, abriga as classes. A largura das colunas representa a amplitude das classes. O eixo $y$ recebe as frequências (absolutas, relativas, percentuais ou densidades de frequência). Sintaxe:

Medidas de Posição

Médias

Média aritimétrica

É o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

$\displaystyle \bar{X} = {\sum_{i=1}^n x_{i} \over n}$

Mediana

A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente) é o elemento que ocupa a posição central, ou seja, divide o conjunto de dados em duas partes iguais.

• Se a série dada tiver número ímpar de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula:

$\displaystyle M_d = {{n+1} \over 2}$

• Se a série dada tiver número par de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula:

Moda

É valor mais frequente, aquele que mais se repete.

Describe

A função describe() lista várias informações sobre o dataframe.

Medidas de Dispersão

Amplitude Total (A)

É a diferença entre o maior e menor dos valores da série de medidas.

Desvio de uma medida

$\Delta x_i = x_i - \bar{x}$

Variancia

Variância dos dados amostrais dado por :

$\displaystyle {{\sum_{i=1}^n { \Delta x_i ^ 2} \over {n-1}}} = {{\sum_{i=1}^n {(x_{i} - \bar{x} )^2} \over {n-1}}}$

Desvio padrão

O desvio padrão é a medida da variação, da dispersão, de um conjunto. Dessa forma, quanto maior for o desvio padrão, pior estão sendo as medidas, ou seja, há erros que estão diversificando os valores das medidas.

$\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n {(x_{i} - \bar{x} )} \over {n-1}}$

Desvio padrão da média

$\displaystyle \sigma_m = {\sigma \over \sqrt{n}}$

Coeficiente de Variação (CV)

Trata-se de uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. o coeficiente de variação é muito utilizado para comparação entre amostras (por exemplo: o que é mais variável, o ganho de peso de suínos ou a altura de plantas de milho?).

Erro Aleatório

$E_a = \pm ~~t \cdot \sigma_m$

Resultado da medida

$\Delta t = ( \bar{\Delta} t \pm E_a)$

$\Delta t = (6.60875 \pm 0.12603 )$

Erro de escala

$M = (m \pm ~ \Delta{m})u$

sendo:

• m: medida

• $\bold {\Delta m}$: erro de escala

Erro de escala Instrumento Analógico

$\displaystyle E_{esc} = \pm ~ {{menor ~divisão ~de ~escala} \over 2}$

Erro de escala Instrumentos Não Analógicos

$\displaystyle E_{esc} = \pm ~ {{menor ~divisão ~de ~escala}}$

Exemplo 1: Os valores do período de (T) e do comprimento (L) de um pêndulo simples foram obtidos experimentalmente de acordo com a tabela abaixo:

a) Calcular O erro aleatório de T e L

b) Escrever o resultado de acordo com a teria de erros

T = ($2.8372 \pm 0.0027$)

Erro relativo Percentual

$\displaystyle E\% = \left | {{x - \bar{x}} \over \bar{x}} \right |$

Propagação de erros

$\displaystyle {y = f(x_1, x_2, x_3,..., x_n)}$

Equação do erro determinado

$\displaystyle \Delta = \left | {{\partial f} \over \partial x_1} \right | \cdot \Delta x_1 + \left | {{\partial f} \over \partial x_2} \right | \cdot \Delta x_2 + ... + \left | {{\partial f} \over \partial x_n} \right | \cdot \Delta x_n$

$X = X_0 + V t$

sendo $X_0 = 0$

$\displaystyle \Delta X = {{\partial X} \over \partial t} \cdot \Delta t$

$\displaystyle \Delta X = V \cdot \Delta t$

$\displaystyle \Delta X = V \cdot 0.12603$

PACOTE UNCERTAINTIES

O pacote uncertainties é um programa gratuito de plataforma cruzada que lida de forma transparente com cálculos contendo incertezas (como 3,14 ± 0,01). Também pode produzir os derivados de qualquer expressão. Sintaxe:

var = unfloat(valor, incerteza)

Exemplo: Calcular a força peso conforme tabela abaixo

INTERPOLAÇÃO

Os resultados de medições experimentais ou simulações numéricas fornecem, em geral,um conjunto de valores de uma função em pontos discretos de uma variável independente. Esses valores podem ser apresentados naforma de uma tabela para valores discretos de 𝑥. O processo de calcular a função para valores intermédios aos valores conhecidos de 𝑓(𝑥)é chamado interpolação (MIRANDA, 2018). Tipos de interpolação:

• Interpolação linear (padrão da funçao interp1d)

• Interpolação polinomial

• Interpolação trigonométrica

• Spline

Gráfico interpolação linear:

Sintaxe:

# carrregar a função interp1d
from scipy.interpolate import interp1d

# calcular a função interpolação
nome_função =  interp1d(dados_x, dados_y, kind='tipo_interp')

'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 'previous', 'next', where 'zero', 'slinear', 'quadratic' and 'cubic' refer to a spline interpolation of zeroth, first, second or third order; 'previous' and 'next' simply return the previous or next value of the point

AJUSTE DE CURVAS

Ajuste de Curvas é um método que consiste em encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos e que possivelmente cumpra uma série de parâmetros adicionais. Ajuste de curvas pode envolver tanto interpolação, onde é necessário um ajuste exato aos dados, quanto suavização, na qual é construída uma função "suave" que se aproximadamente se ajusta aos dados. Outro assunto relacionado é análise de regressão, a qual se foca mais em questões da inferência estatística (Wikipedia, 2019).

Algoritmo:

# Definir as constantes
var('k_1', 'k_2', k_3, ..., k_n)

# definir um modelo matemático
modelo(x) = expressão_matemática

# calcular as constantes do modelo
constantes_modelo = find_fit(dados_pontos, modelo, [k_1_i, k_2_i, ..., k_n_i], solution_dict = True)

# substituir as cosntantes no modelo
modelo(x) = modelo.subs(constantes)

Modelo polinomial

Modelo Reta

Modelo não polinomial

Movimento harmônico simples

O movimento harmônico simples é o movimento que ocorre em função de uma força restauradora que desloca um determinado corpo de sua posição de equilíbrio e proporcional ao deslocamento. O exemplo mais simples de oscilador harmônico é o sistema massa mola. O gráfico mostra o deslocamento $x$ em função do tempo $t$ que obedece à lei de Hook, $Fx = -kx$, no qual $x$ varia senoidalmente com o tempo e pode ser descrito pela função $x(t) = Acos(ωt + φ)$. Sendo A (amplitude) , ω (frequencia angular) e φ (fase) constantes.

De acordo com o montagem experimental abaixo, foram coletados dados de função posição $x$ na vertical (cm) em função do tempo (s) e salvas em um arquivo CSV. A pardir dos dados, determine a função do movimento harmônico simples.

FIM