CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutPoliciesSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.

| Download

Sage Reference Manual

Project: SageManifolds
Views: 717270
wOFFOTTO4�\(CFF H!�,Gb�'FFTM3(`y��GDEF3"(�$OS/2hS`�|8zcmap�7���head56MEhhea@ $Phmtx3D���n�Zmaxp`�Pname�@(�l�+�post4 ��2x�c`d```��)�8oy<��Wn�@�sK`���7�/��302p00�D��
�x�c`d``��{�������?�/0EP�:��cP�x�c`b\̴��������_��-�|X���߉!�?��������?ӻ�l,�L
�����*�10�u�xڵZKo�nY"e�/�����M�%)F�-�Z�!�EX��C�w�w�͙�A��֧���[.rI�s�?�9�7䞪��y��S���v׻����k_�k��]������ī���9qc���ů7����g���xC���x�	���M񛛿��-1x�<�}㟯���/��_��_?��t㿿��_�zk�_�q�(H_�����s��
���b�Q����m���
����7a�w<�)���
�o�����o���M� �_�=�_�^��_����<~Y\��/q_XQ��pˆ��JH�-��w�>��.��%��JX5>�q��b�H��=%
���=�M`�����
��$anآt�4I��n����<�7c�[��+w�G�V�l�
�aϜ�IX��T��b9Q�>��9��}��Oi��ꐈ>��R
��e�~HIþ��!k�o�j�K	͢O�3���I:X�G~�����"�@���9r��a9g�y��;Fȏ�k��p�%%�'#�4�<}Ӵ��>
����̍�+z$��'���s���L .�}[Ν�+����;���w��`.����.N��d �ۼT�Ѿ'[x�+S��Ң�\;��B���|d��y���I۪I�q��x�M���)����
*ac�����Ѯ�~O�"�����8�I�h#����$��Bk��~)ϭ�h	���s��;o�q��8g&q��i�-v�ㆮ�Re��U^��:��^���!)�V�D=/�L�q��=^�g���%xZ��׻ϔ���!2(��RA��8�0B,^�������Cl����x)�����2+�0s��ԇ�$�`7������;������cu �a�=�E�`|�{��Q��䓖�
cR��}B�����3��~σ��A^�G��x�c��݆�3�UCvUT�|�\ϑ|��?E]�Ϭ�!b>�E�/�v��R�ʩ��]b}���%V��2#E�0��Q�^�S���	�ce��K�E7��1�AMa��9$�+=,��EC�)�O4���ff���-��&T�Eb�k���٩Iu���Յ|`��\M���NW��x�O��)��7�}�f��LO��4�H��R��!V��C2T�B&\���0ƀ�h����fJ�
:k�/���FM���!ʃ+J���Њ�_׵�h�v�N#h�h�uVE-KڟQ~�9����Щe}֢��:S�� t�A�����V=������0P:��u��m(�]!ӳz�@ἦ��ˉ)���0����C}�GKy#9B1f�ꎸ,D��d�AM1�h=)SI�dG��ݳ-C��/�ۀ"*�1�
e�d)ڹ���>[�*X*[Р�C���{�S���Xz]]�pv%t�d���Z�}�s��[}�b6�����}����?�˄�8f��s^�
��ݴ
~Se���J#)"ETZ{?Hޜ��,T�1W�Y֒��\�Q�`���hD�������tqhwGS�+��i��s�q�Nm�XB�
u�T'���,su��$���
рy�p>����$BJs�rEgA�~elv+v�͍�B:�_U[�w(�m���(U�m���m��O)����Q)�M+b<LI���F�;�k\��:��U����d�P]g�(㌽܎��^�ա}���ԴV1�4W�Qm��-�6A~�,����[��8`T|����_w҆�
�l[w9��TEup�g�}��=Mޭ��]�[d�)�,J����2�H̨vT.���2�򳉩���V�q�]9S^>�*�>��Z���ƅNƅ��h.?�S��2�E%U�4�������oh¡,����d>rvR"��� SȲ�2��Ѐ/�v�K�E�L��Cg󫡼�>��h�w5��E'��E��<,:�PZ���4�{��9������N,̾�`P;qj]8*��|���d���-w#%�����9Dd�>6�X�����v�u�%�1�ae�&	w�u��q2V�<m��^�_}�"�n�’�*��*`
 >�x�<8��Dj�'���!�4R��ƵVq�whA8�����x�LgS�;��!ů��}B�#���@�����\�T���Mғ~�l�#��V'}���N%zd�:@�b.�*���X���T:�*M��ş��m�w
I��@P�m��B:83�����d��v���W o5AU��D����A�����x�l8�0�'��4���g)�
�W.
|��R��TrR@�:L�v҂�@� nm���2rp:Ӡyt�z�ݺT������G�7`R0bf��)�5�]��b�{�ѫ���V5�sG'�UU��ۛ�f}�ǧĭ�T^���]�.Dxک6�a7Z�������EJ8��w�[�w���xЅ�/��A(��GPl�5F�������2j��]�9�LU�݌ͅ�[H<��EF�B���H��a�;-��*�GW�i���D���CҦh��滴�]�'��B���a�=��[\�G
ΈZlMK��D}�P��puo��� թx��i��t�ƪӶ5�W��3LVZ�i{��#�x�����\���	�B[����ScRQ������7����ݸ�����j:�]h�j5ê���tk�GMý|�U�5�]}1��
Q�y�k��I2�k�S���5Ml�/�����[}�U����ZEMV���1�$�'��=K�m�%Ψ�q4�^[o��q��<��I�;dPQpS$Q;ھ��#D	4�XǾ�e��n*\sI��n���d���2�G��q��b����[lE'zqk�vq�ͺx���Z�q�6!��{����:n�Q`�@�9K���E�.��MYcE\3h0�{~�+�F�I}��F���uYI1,b�1Wr�\���;��O26�Ѣ��p>^`]m���K�>��נ�׏��sC���)�c�h���3�}
5^Y��3Gwri�����f8�l4�b����q�-g��2=��m����E�_� �hr�iؽr0�Iѫ���)4���	4�:�D�)��п��UC�^Xjx/i �d{R;+2�R��������#��&/3-���B��и�)@N5Yj�ON���c�e�W�˭�O�)���&�nw/�}��+j��q���~��I�+�7o��ÏO�L��i�X(BhYz��I#A�!��T{3*ݸh���Bp����)Ǩ4�D�J�X( �Ĕ&�k��`*�SM�6ϲ	g��TAr�����ah�> q��6S��@u�`��I���+���N��2�f��Y0N�D��,���:�)��߭��r��(���������l��G�?�C{"�h��n��W��w�+E�ʫy��F���{dQ9h��f��Iֶ;�rm���,�����޲m0M1�,N���7{�c5��*�ܜ����S��}��%s� ����6r��I'd)�����>dA4z�p>WsD��o�`.M�u6�QTH�p偌[������K����ڄ�
^�Ȅ�B
}�T0�J.!���`ځ)0��6N4Y�!}����P��)�uO�>��av-����'�|\��?�mXx�c```f�`F ����1��,�@:�����A�A�a�Q�Lיn3�dz�������ٜٞٝه9�9�9IAHATA\AZA^AIAU�P�J�F�A�]�_!P��5��
><�{�� ���G������d���g�&�ez5��ْ�
jr���d)9��
fP���&_�|h��ɉR���h���I����������_��F��������W��_���:��bD=�x�������X��}��-�7�_����^�����:H(�0�14���j�QĄ!��"+��piQWc\qq2x�c`f��[��,��xڕy	\S��&77�&4*x��l��Vm�*��B]���UD� �����Ȗ����/��(�Z�j���j�>�m_[��M_�\��{}�������{ΙsΜ�9�L�H��g��Uq!+T�W�쉝�82l�@0��p'wJȝ��Q"_;�_��7�I���M���:|�@0bܰ�#�	�{��^�l���	&^��
�
V6
���PA�@%H�
A��^�&��
N
�
.���<�"xD@����L��L0x�`���� ā$�	�A1(��	t�np��U�!����,B�P"�Y�8�—�3����%�UB��p�P)�&
S���}B��JX'l���o��/�)�#| �V��p��()5�C9Q/QS)7j��ZN��6Qۨ *���4T�GQe��j��S��c�i�<�.u����G}E}Oq�o"���(��D�E�E�E�E���E+ED[D�Q�(N��x�xC|�r��Eӭ��1����W�x���,f�����O�x��a�
<y{��=Oޞ'oϓ������-x��<ye��2O^��̋W��+��y�ʼxe^��^��^�/^�7�ś���k��x�Z�y-޼o^�7�7o�Oo��%6��3y�Ã�<ج�Θ��\xp���^ˌY<�g���������<x��ۛ�ۛ��s�����\x{.�=ޞoυ����s�����\x{.�=ޞoυ����s�����\y{��=Wޞ+oϕ����s�
��\yC��!Wސ+oȕ7��wㇻ�3y-3��Y�/�x_fY}q�n[3x���l������O���;�6p㕹�<7o��3��^����7�	/^�oϋW��eo^Ҷ	�z��yC޼��H`�2o^��ce�K޼KK��xO��m[\�����Lf�0�^�<���j����j�{ɒ���Ò���32J��s�8��e��S�!wީv�	r&��ym�Ng���eP���ȈXel�2"�9r�MhQxP�20 ��3$(�<�9o�Tũ����<�����\��U�����4���-��?���b��A1S���iS�"v9��!��ch���@g�`eDPPL,?��ymdL��̒L����1g�;	�tWkpV)c"����?��n�g'����9ۤb�������]Ӥ��3\my\��*D�Z�ć�u�R�
����\�G
�^�>P
A)�%@��JA)��T�jP�����ԁz�I�m-���vA� �'��A8�"|=��c� �o�~p��Iqo���Yp�'��"�����.)���{�}0>�I�>7�-�1�����mp|�{������K�)�_�o���!�|O
���'�3� 0p�"��
�	�h�x�~�����BJ(�B1i�0�T(�	�!
�p��H���A8�4����1�g�c�#��sB��I�,|^8�4�/
_NN��?"���@���8H�g	�")$�D�E�D[E�t�^t�~�^Jҙ������џҿ���n��l�A�$>)�,�X���S�7��%����d�#�8���G%-�VJߕ~&�d�d�eSe!�8Y�l��FvV���g;;;w�������e��=#{f�3��T?s�,����g�5r����M�y�}���GÇ�:|���7�=�y���[F���a18�T�iym䃑�����~��z���Y�F�s�w^p(q��p���QF��3�;�]š�o��_s\�DZ��ў��FǏ.�6���Ƽ:f��1{ǔ�97�ϊ�}��U�&>{��_Ǿ06xl�X�خ�������S��|.[F���E�X�$6���	��\P٠��I�ڍǪ%��%y0������aٌ�5J������A~sG��
2���7����ef��2j	Q�����m�J+�pBk$�B{�+�aX�r;���*����gg*`FR6�fbkUuM5�������DL��
��>�'/b��ʬ^�J`a�^����6�<�e>�%+-6��K*ZZ�� ;�x���P���ٲG�m��<��ԡ���X<]-��3d�PfHv����3J�
XXPR�ӗ���O���LL������4�6��lԵ�c�|�e�	�G�і%,����9:-T2X#���YQ9��9FIPAvG�$=U��bX�W�R�X�%��՘Z;�"��`�*ܗ�'X\L�'JklKU���N�m%��bƈ�%��K��VO��H�S������4S�N�xMb��.�թ�׶�3k$�4��S���_���°�����X����4�gն3iO<іW��H7�� �Q��Z�5����~�$0�oH2��O��ɮ���$c\B�&�	j2Kҋ�90��f天���+��@�Ԡx���_R��,AL��~Cî�����L��)΃;�G��v�1ih���Z�:���zMErE�a��Ad&tq���2X�g���mI���76'hK�r�a�l\�Ń����鳡f�Gůc�����ܲ��)'�MP��E-$�Ԓ�|�^]2S���C�҉�3�V�ͅD���k�[�}�b���V�@$F'��F���������p>&P����m���{�Z���{3���x�z��2kͰ�/�-`*��G-��/�/��e���
b��cSvҩA�5��l,��:X��%�#Tq�����&X����6ִ7��?������BF>�2��8/�Y*�>�%�\�C�4�e�	�J��"��j_O8����v����Ա������t�e���p��O1d�4��ի���G�y�|��ݪ%�Ǝ��͜}?Z��?u��2�����*���	Ry7Қ����*o푔 9]�WGւ�n��'_/��S$ϊI�NQ��H�\��`UCI��Y���^�{�����NO��p�e{��(���W�
��:�A]�.�$�*����X[T�ѕ1���Hȼ�h��sf|�d�\����!��9��K�FK�&h“�/��w���؄&�h��x��p�q�������I���$l��
���ٖ]�h��.����CZ�D�
���Xd��F�<�'�MOoc�A�~�n� ��S"7i���þ(�=L߂�h��M�RX�T���25*�b�"��"X�	�ː�=�Z���e�_	�M��eW�*^�.srvi���;��70��i��>��7����ǙyNO/�`��^�&�
������w껺M<�c�/���1�+HA��YľD�F�<yG���&�s��ΓT}����ƚ��Xp��Dn�MM��+8d9�:^t
ܿM�7��ID
׈V��kd'K������x�}�fF�gj��5�$���������h�UeE�bb�bRҲ�B���D�q�NCt�_��e�X��mU&CkQ#�+D��i�;�8������-^���mۮ/^��o������_���
L��Oq�,��5X��T��N0C��a�az.r���Y吤ߪ�JE
������2�45Q�qՑ���;�֦%��5m߉�
o*`m�)���FRD�u������俍�kR҆�v?��Dgi4��4�v��2r<�3r{���'
��Ք�}i夦p����9�\#�!����E���&tٔ�ho�����Qw�E"�$'-77�<�V�8���Յ�
7����������qf���q�!p#9��.�jņ���w�|]^}��L3|�y^����o�K4�&��\ۦ0ASfMRM�>�<��Sk9��ln�ô�l�h�ͯ�*c�����eG��:��!��*gf�&D1Q��o��R�.�CCYq�>"�Q-1��U�2��W|W���'�F��"G�$� ��*Z\f(g�_��B�t�0ff���"Re$)浏)�7��+UpC.�Aq5�
E�e���DI�ϼ��?s*�EPG�h�>p��D�w��rT5��Ƙr�2��[�W�*+{���]A�x��;����Y^`�n��-��+��+��?�~!<�|��2@1z�B�c=�"<n��#��!��S�q�� ��ZƱ�C���c��D�h�͈���9,`�_�:,|E�>��T����,��i�I��(��}�N>,)8J_9�w��u���lMTW��8����$-޾��=J'9n�B�`��E�˱�D��r�P�?��v|̱�0�^��	��J	��W��]�Rx����.��bg�&A⓫Im�G�:��^�ׅ���W�'\��G\��,���$«���T=�h�F������;e�&>���*�	6&���
�2��D������GX��q�}�DW	�82@�����x�k�I������q-,���y�|<Y"ϺN��l��*
�ڛa�^�'412A��$��M���V��[���Sx=�b�۸�Í�4�G>}i��x��;�Sx�I��{k�I�{�	ϱQmyw��}�� �!뉏�w���%iK
XZ]B2A��6>Z���;윢�W�6��u��q�6v�୫��1����jc�Sz s����Ec��W�b�`tu6�`2��Iq��]dJ���?^�k		��	n�8���z���l�~Bd���𶐐�p�S�ۑД!��Jh-�a�O�a'�@����~o�_�e˺���ϟ;~����142fOxT����֎��02���ۺ�:��GC�XW��7ƈ#����
k��WʲH���3@��&5.*1%�)	���삤�tWjS9%��;zC�68����i�$T�Z	nS��V.qY��Ţ1>xY�A0�1�֒}�+X�����Gk_$��0�>ps��j���vqdJzTtrY���g�$R���Zڢ���.��=����e�2uSR;d���^&g�y����:��I��v=Dr����\i��J�'�W!&d��E� �d�̾�x��������֓�$�`�_e4f��^��k���y���Md	�{�]�O=(�, �%�=�ϭ��^3�oCy�m�;�C��j�>�����Z;]���x�xz���~��jn�����
��p
�����4z�]p��X�g�����M�����Q��䀤��Df�d���@�������!qug���$����xF�� ?�@�~�`W]�xqW��ի/���jժCA������d��xݯ4;S�+��{ʣ+���zuU8i ҉���T&@��n}w|vf�S['�=������r�!���W�߃kq�	���DoR�IT��[x�ͯ��)$���@��@v�������%����<�r�up�%u1[���.uX;U��&�Dh	-���j_|��k���l���i��H�̕:\�Gp>A"�s �|6a6��&=
�S�p��.��Ѿ��@��h�B�5�L'���L`U~�{W���2��$�R���H7/�+֦,g���z/~�@$�H#��OG�����gO�}H"";��kg�3N�y�%���ΊV��6���F��j��ض+���n�]s*� ����ey$��de�*M��L
sr�`nFN����C�?x�t_-i��Ā^�K�n��E�Ō俑��˳ц�q�r��>'������q�g�@��p:��}���l[��D��xٓ�d"U���n@*ZË9^Eۮ:t�^4�M��㭅������).�6��ن£�;x�s��TT�"�ۗxf���i,�bb��_�a�>�s*��"�<(���פ�s��Ȟ;�nA=�m(�����iBg��n�ډ��i��]Hn��"iL	�X��Ӱ�R�^R4�t�R�8Q�_�߀�5���?(��e?�շ�y��x؜�o(��UMͽ�Z>��1�:b��c�[CӸ�|���/(n��]"�#u�[�.?�ި(���Od�k�p��e�#S:ě��1y�0�����ITL��s,ގ�a.ډ�҅���y��=���@4�w�]L1�U��u�z�a�
v�&�[�[���67)�l�6��(��Ex'�K�����eka6��&]rbs�����IU�ڌ,�a�z*߀�P[��'�J
�+��b�}.�U��M��a]���.��*ǥRNA��2)>渌$�E�
�Ds&v=�������Y�������9����3b!���=�=ri�@=&�� x��B���MY֢dv��!9l+�C�h���-1�����Ѷ�N�:\@G��I�X)u������א���O9Y��^�A!������5(�������]]'��r�z؅��G�aX�7�AơXG�=���ik;vJ��r�6/'8��1��'^��t�T����D|����_~ �����v(���䖑7A�e${��Dd�k�`y������8�~��(H�D�)K�i�*#+B��{�:t�Ck�9���[���&�D�ב%�$�Q��7��G�����IM:���/�H�D�*����/�u�,��G��,��Q�����8'��Du�O<�!&�;�\E(m �����I Ok��Bj���#����[�9��yئW���t⸬��ʧ!R��XC���K��҂�+n)�א�zzt�zƨ!�����<�H?Nt�Q�8�N#�{,w����O��L�����x��ِ��,-�!bI$���Ĭ㓐��Ht�B�x!����ۮ��Gw$|����b�?��V^u7�)7�3��:t�Z^�)��� �u
b�
ݗ�"��;��Ɔ�S}i��������=6L���K~��Ӆi4�	m	
���Ͱ�)k�g&�v�����f�+��Ѷ_s~��<�{�\vH�΋[K�TN0-=a�S����RIH`�j��]�fX�Ԗ�[6~6ᓽċ���u��.��p��J~���c�%�j>wq�4)��%|#H����[¡�� �Ǩ;�@�4"Co���ѡ�������֮8�s�ve!iM�Ik���&�R
�
��V�S����ft�֘":��͍T��a*�l71��B�>�$����
pw`��#vXXq�����½��L��vHoM��6Ë��a��u��n��U�Ŗ�';�מ�y�������w��so?Z��>S�<��P��Q���w<�\5o�ŕ�޺t�c��}���-[��<�}�x��_E�P$���}�
ΠW��8'v���P�CR��J�E�(�F'g<��|N�
��av��M�I>�|�N?����Ébn�D֊�T��:�L�J�1YG�+���(G۫�
)U��ov�J����E���E�e��vv�dGK
�E�E%Ev�쳓+������	;fY�$9N�-��	���{0���v��^P����B�P,-�-\ \/�
�	��F��S�(-e�.Sߊd�"OQ��R�1-��������>@_�?��OGC���JC���x��OMFj8#C̅�A�9�����M[��{�PW�#�C�	��.e��M��5��o�d���]���i�o�x�j��?/�\�$��&�R�=j<1��׿M�x����*�d�94�N2�JU0&$��X�Ҫf�xWZ6��&���n>������D�,/???+71#-/	��xV�����1�itnN�ެ��~�10�	�HDδ4cdoC����߳��=[c�=[���S`x�Z���+����;L�.�Lҟ���6��.�=�����3ɵX��ꮿ�����|%�T4�I�Dr�R��|����������$�r@!Ӽ��[7�঴�����e���5ݗ�L���k��D�l�+L������3�v�ռ�_VN�WK���[b�YL�y�bʘ@#-���#���&WA��7�iM�e�Y�$%0����TELJKONQ��F$12x��`�ṟ�ڄt������rUuFEjuB��XOM�֞ߐU�]�c����̄���(-Y���r���2֖��Tה���x̤���&C]�zPU��JS+Rj��?4A]�)�XU�P����d�K�Ō��^�ٱ��[�I��w0���C]���j�����nN\�#6$&)�Au=<
O7~�~��f�2��Q	�2�����0}"�����hl�;��B�����
�?an7U�a�c
~�ͯo�Z��ZQmV�!3��IX�$�sj�u�A�U��r�h�
�>��[�_ۘQ�g�ݰ��������9�~��=ꆣ?��*�aQ~��L[�W�הQ���l9���
�u�0�'��]�.�A"���U������-�#����1|�J�.J���:��_�G0�7Cn�
��;�8��}ť��n�ט�^{;`�U�ۛ���;[)�)�\S�V�WB�������~s�e��y�Ȟ�,����6?k7۵�if��*	l+�1�U�`ӑX��������}���<:Ȝ���N�L1D�H�R��S{*��̭��V3Zɞ��܀�M�{��nY��B�VE�����A������{��kI���s�`V���ZWצ����fF�:����ǔѭ��,S�A��f�֘a+�PUn,bd[��u�5�^�QW^��C�����(�x��M����`d7�'��������Y3B���&ZW�����oJ���2^��z��)�۷w���vv�*d��6@�eg �|
M^B��M�}�x�c`d``�b	 ����k���c``�`c�=��Ś�vΡtPx�e�O(Q���j�P��Fr�{Pjck�R�Ұ(�h��ɟ�F�B�݃M)�pR�rvT.bO�����&�ԧ߼���~�y���ӥ�h"���]��T��*!d� ��І*�TAe!�1/�&�r书%=��#�u�M���J�)1�D�aa^Y�{�j`���-�>L��^e����7{d�o��I��J�5q���g<s�L+��gܥcq�[��� �z�2����'G�«����f�x���SO��ثc�c�|��ɟ�Vu��5�_�f��w�5�h�ƍ
ff�l��9?b�ؠ4�r�O��0��0s�87�#k�'釽���Q�_�^�x�]��U�=���%���%��ޙ�������K�9�����
����3