Book a Demo!
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutPoliciesSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.

| Download
Views: 23
Image: ubuntu2204
Tweet
Share
Share
Kernel: SageMath 10.1

Lista II: Liczby zespolone

Zadanie 1

a) Oblicz z‾\overline{z}, Re z\mathrm{Re\,}z, Im z\mathrm{Im\,}z, ∣z∣|z|, arg⁡z\arg z, z20z^{20}, jeżeli z=−1+i3z=-1+i\sqrt{3}.

b) Oblicz z1z2z_1 z_2 i z1z2\displaystyle\frac{z_1}{z_2}, jeżeli z1=2eiπ/7\displaystyle z_1=\sqrt{2}e^{i\pi/7}, z2=3eiπ/9z_2=\displaystyle\sqrt{3}e^{i\pi/9}

Zadanie 2

Oblicz zw‾z\overline{w}, z2w‾\displaystyle\frac{z^2}{\overline{w}}, iz−∣w∣z−iw\displaystyle\frac{iz-|w|}{z-iw}, Re z+iIm w∣z∣−w‾\displaystyle\frac{\mathrm{Re\,}z+i\mathrm{Im\,}w}{|z|-\overline{w}}, jeżeli z=3−4iz=3-4i, w=5+12iw=5+12i.

Zadanie 3

Znajdź liczby rzeczywiste x,yx,y spełniające równanie:

a) (3−i)x2−(3+2i)x−(1−i)y=13−10i;(3-i)x^2-(3+2i)x-(1-i)y=13-10i;

b) (2+ix)(y−4i)=14−2i;(2+ix)(y-4i)=14-2i;

c) 1+xiy−2i=−1+2i.\displaystyle\frac{1+xi}{y-2i}=-1+2i.

x,y = var('x','y', domain='real')
(3-i)*(x**2)-(3+2*i)*x - (1-i)*y == 13-10*i
-(I - 3)*x^2 - (2*I + 3)*x + (I - 1)*y == (-10*I + 13)

Zadanie 4

Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych:

a) ∣z∣+z=8+4i;|z|+z=8+4i;

b) z2+3z‾=0;z^2+\overline{3z}=0;

c) z+1z‾−1=−1;\displaystyle\frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1;

d) z+z‾+i(z−z‾)=−6+2i.z+\overline{z}+i(z-\overline{z})=-6+2i.

x,y = var('x,y', domain='real')
([e_abs(x+y*i) + (x+y*i) == 8+4*i.real]. [x,y])
-(I - 3)*x^2 - (2*I + 3)*x + (I - 1)*y == (-10*I + 13)

Zadanie 5

Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych:

a) z2+z+1=0;z^2+z+1=0;

b) z2+(1+4i)z−(5+i)=0;z^2+(1+4i)z-(5+i)=0;

c) z4−2z2+4=0;z^4-2z^2+4=0;

d) z4+(15+7i)z2+(8−15i)=0.z^4+(15+7i)z^2+(8-15i)=0.

Zaznacz rozwiązania na płaszczyźnie.

x = var('x', domain='real')
w = x**2 +1 == 0
solve(w,x)
[]
z = var('z', domain='complex')
eq = z**2 +1 == 0
solve(eq,[z])
[z == -I, z == I]

Zadanie 6

Narysuj na płaszczyźnie:

a) siedmiokąt foremny, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie (1,1)(1,1);

b) jedenastokąt foremny, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie (2,0)(2,0).

Zakładamy, że środek wielokąta znajduje się w początku układu współrzędnych.

z = 1*exp(2*pi/7*i)

# polygon([z**i for i in range(0,9)], fill=False)
z = var('z', domain='complex')
polygon([i.rhs() for i in solve(z**7 == (1+1*i)**7, z)],fill=False)
Image in a Jupyter notebook
polygon([i*exp(2*i*pi/11)**v for v in range(1,12)],fill=False)
Image in a Jupyter notebook

Zadanie 7

Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory:

a) A={z∈C: ∣z∣=1};A = \{z\in\mathbb{C}:\ |z|=1\};

b) B={z∈C: ∣z∣⩽2};B = \{z\in\mathbb{C}:\ |z|\leqslant 2\};

c) C={z∈C: ∣z−1−i∣<1};C = \{z\in\mathbb{C}:\ |z-1-i|<1\};

d) D={z∈C: 2<∣z∣<3};D = \{z\in\mathbb{C}:\ 2<|z|<3\};

e) E={z∈C: 1⩽∣z−2i∣<2};E = \{z\in\mathbb{C}:\ 1\leqslant |z-2i|<2\};

f) F={z∈C: arg z=π3};\displaystyle F = \left\{z\in\mathbb{C}:\ \mathrm{arg\,}z=\frac{\pi}{3}\right\};

g) G={z∈C: arg z>54π};\displaystyle G = \left\{z\in\mathbb{C}:\ \mathrm{arg\,}z>\frac{5}{4}\pi\right\};

h) H={z∈C: ∣Re z∣⩽1};H = \{z\in\mathbb{C}:\ |\mathrm{Re\,}z|\leqslant 1\};

i) I={z∈C: −1<Re (iz)<0};I = \{z\in\mathbb{C}:\ -1<\mathrm{Re\,}(iz)<0\};

j) J={z∈C: ∣Im z∣=1};J = \{z\in\mathbb{C}:\ |\mathrm{Im\,}z|=1\};

k) K={z∈C: ∣Re z+Im z∣<1};K = \{z\in\mathbb{C}:\ |\mathrm{Re\,}z+\mathrm{Im\,}z|<1\};

l) L={z∈C: ∣z−1∣+∣z+1∣=3};L = \{z\in\mathbb{C}:\ |z-1|+|z+1|=3\};

m) M={z∈C: ∣z+2∣−∣z−2∣=3};M = \{z\in\mathbb{C}:\ |z+2|-|z-2|=3\};

n) N={z∈C: ∣z−2∣=Re z+2}.N = \{z\in\mathbb{C}:\ |z-2|=\mathrm{Re\,}z+2\}.

x,y = var('x,y',domain='complex')
z = x+y*i

def e_abs(z):
    return sqrt(z.real()**2+ z.imag()**2)

region_plot(abs(z.real())<=1,(x,-2,2),(y,-2,2),alpha=0.3)
Image in a Jupyter notebook

Zadanie 8

Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory:

a) A={z∈C: ∣z−5z−1∣=1};\displaystyle A = \left\{z\in\mathbb{C}:\ \left|\frac{z-5}{z-1}\right|=1\right\};

b) B={z∈C: π4⩽arg z⩽23π};\displaystyle B = \left\{z\in\mathbb{C}:\ \frac{\pi}{4}\leqslant\mathrm{arg\,}z\leqslant\frac{2}{3}\pi\right\};

c) C={z∈C: Re (z−2)⩽1 i arg z=π6};\displaystyle C = \left\{z\in\mathbb{C}:\ \mathrm{Re\,}(z-2)\leqslant 1\mbox{ i }\mathrm{arg\,}z=\frac{\pi}{6}\right\};

d) D={z∈C: Re (z2)=2 i ∣Im (z+i)∣=1}.\displaystyle D = \{z\in\mathbb{C}:\ \mathrm{Re\,}(z^2)=2\mbox{ i }|\mathrm{Im\,}(z+i)|=1\}. 

points([i[0]rhs()] for)