Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.

| Download

Project: Analiza matematyczna ps9

Path: Analiza_3.ipynb

Views: ³⁴⁷
Image: ubuntu2204

Kernel: SageMath 10.1

Analiza Matematyczna – Pracownia Specjalistyczna

Witali Bułatow

[email protected]

3. Pochodne i granice funkcji

3.1. Funkcje elementarne

3.1.1. Ważne klasy funkcji

Funkcje elementarne można podzielić na klasy, czyli zbiory funkcji posiadające wspólne cechy i własności. Wyróżniamy następujący podział funkcji elementarnych:

funkcje wielomianowe
funkcje wymierne
funkcje niewymierne
funkcje wykładnicze
funkcje logarytmiczne
funkcje trygonometryczne
funkcje cyklometryczne
funkcje hiperboliczne

3.1.2. Funkcje wielomianowe

Funkcja wielomianowa jest postaci $y = W(x)$ , gdzie $W$ jest pewnym wielomianem. Stosujemy zapis

W \colon \mathbb{R} \ni x \mapsto a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \in \mathbb{R}

Oznacza to, że funkcja o nazwie $W$ ma dziedzinę będącą zbiorem liczb rzeczywistych ( $X = \mathbb{R}$ ) i każdemu argumentowi $x$ z dziedziny przyporządkowuje pewną wartość określoną za pomocą wzoru występującego po strzałce. Wartość ta również należy do zbioru liczb rzeczywistych, jest to tzw. przeciwdziedzina (tutaj $Y = \mathbb{R}$ ). To nie jest to samo co zbiór wartości, jest to jedynie maksymalny zbiór wartości wyjściowych dla funkcji z danej klasy.

Można również zastosować krótszy zapis, który określa jedynie dziedzinę i przeciwdziedzinę

W \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

W klasie funkcji wielomianowych wyróżniamy dwie ważne podklasy – funkcje liniowe i kwadratowe. Funkcja liniowa jest postaci

y = ax + b

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, natomiast $b$ to wyraz wolny

In [0]:

p1 = plot(-1/2*x + 1, (x, -2, 2), color='red', title='Funkcja liniowa malejąca ($a < 0$)', legend_label='$y = -\\dfrac{1}{2}x + 1$')
p2 = plot(1, (x, -2, 2), color='blue', title='Funkcja liniowa stała ($a = 0$)', legend_label='$y = 1$')
p3 = plot(x - 1, (x, -2, 2), color='green', title='Funkcja liniowa rosnąca ($a > 0$)', legend_label='$y = x - 1$')

grid = graphics_array([[p1, p2, p3]])
show(grid, ymin=-3, ymax=3, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=0.5, figsize=12)

Funkcja kwadratowa jest postaci

y = ax^2 + bx + c

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ określa liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej

In [0]:

r1 = plot(1/2*x^2 + 1, (x, -2, 2), title='$a > 0$, $\\Delta < 0$', legend_label='$y = \\dfrac{1}{2}x^2 + 1$')
r2 = plot(1/2*x^2, (x, -2, 2), title='$a > 0$, $\\Delta = 0$', legend_label='$y = \\dfrac{1}{2}x^2$')
r3 = plot(1/2*x^2 - 1, (x, -2, 2), title='$a > 0$, $\\Delta > 0$', legend_label='$y = \\dfrac{1}{2}x^2 - 1$')
r4 = plot(-1/2*x^2 - 1, (x, -2, 2), title='$a < 0$, $\\Delta < 0$', legend_label='$y = -\\dfrac{1}{2}x^2 - 1$')
r5 = plot(-1/2*x^2, (x, -2, 2), title='$a < 0$, $\\Delta = 0$', legend_label='$y = -\\dfrac{1}{2}x^2$')
r6 = plot(-1/2*x^2 + 1, (x, -2, 2), title='$a < 0$, $\\Delta > 0$', legend_label='$y = -\\dfrac{1}{2}x^2 + 1$')

grid = graphics_array([[r1, r2, r3], [r4, r5, r6]])
show(grid, ymin=-2, ymax=2, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=0.5, figsize=[11, 5])

Warto również znać kształt funkcji postaci $y = x^{2n}$ (wykładnik jest liczbą parzystą) oraz $y = x^{2n+1}$ (wykładnik jest liczbą nieparzystą)

In [0]:

p1 = plot([x^n for n in range(2, 9, 2)], legend_label='automatic')
p2 = plot([x^n for n in range(1, 9, 2)], legend_label='automatic')

grid = graphics_array([[p1, p2]])
show(grid, ymin=-1, ymax=1, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=0.5, figsize=12)

3.1.3. Funkcje wymierne

Funkcje wymierne to funkcje postaci $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , gdzie $P$ i $Q$ to wielomiany. Warto zwrócić uwagę na tzw. funkcje homograficzne, czyli funkcje wymierne postaci

y = \frac{ax+b}{cx+d}

Funkcję homograficzną można przekształcić do postaci kanonicznej

y = \frac{a}{x-p} + q

Przykład

y = \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + 2

Z postaci kanonicznej można odczytać równania asymptot. Są to proste, do których wykres funkcji się zbliża w nieskończoności. Funkcja homograficzna ma asymptotę pionową $x=p$ oraz asymptotę poziomą $y = q$ . W naszym przykładzie są to proste $x = 1$ oraz $y = 2$

In [0]:

funkcja = plot((2*x+1)/(x-1), (x, -6, 6), ymin=-10, ymax=10, detect_poles=True,
               title='Wykres funkcji homograficznej', legend_label='wykres funkcji $y = \\dfrac{2x+1}{x-1}$')
asymptota_pionowa = line([(1, -11), (1, 11)], color='red', linestyle='--', legend_label='asymptota pionowa $x = 1$')
asymptota_pozioma = plot(2, (x, -6, 6), color='green', linestyle='--', legend_label='asymptota pozioma $y = 2$')

funkcja + asymptota_pionowa + asymptota_pozioma

Wykres funkcji $y = \frac{a}{x - p} + q$ ma:

dla $a > 0$ gałęzie hiperboli w I i III ćwiartce w układzie utworzonym przez asymptoty
dla $a < 0$ gałęzie hiperboli w II i IV ćwiartce w układzie utworzonym przez asymptoty

In [0]:

p1 = plot(1/x, (x, -3, 3), detect_poles=True, title='Funkcja homograficzna dla $a > 0$', legend_label='$y = \\dfrac{1}{x}$')
p2 = plot(-1/x, (x, -3, 3), detect_poles=True, title='Funkcja homograficzna dla $a < 0$', legend_label='$y = \\dfrac{-1}{x}$')

grid = graphics_array([[p1, p2]])
show(grid, ymin=-5, ymax=5, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=0.5, figsize=10)

3.1.4. Funkcje niewymierne

Funkcje niewymierne to funkcje zawierające pierwiastki. Narysujemy wykresy dwóch funkcji reprezentujących tę klasę

f \colon [0, +\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = \sqrt{x}

oraz

f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \sqrt[3]{x}

In [0]:

r1 = plot(sqrt(x), (x, 0, 20), title='Wykres funkcji $y = \\sqrt{x}$')
r2 = plot(real_nth_root(x, 3), (x, -10, 10), title='Wykres funkcji $y = \\sqrt[3]{x}$')

grid = graphics_array([[r1, r2]])
show(grid, ymin=-2.5, ymax=4.5, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=2, figsize=12)

3.1.5. Funkcje wykładnicze

Funkcje wykładnicze są postaci $y = a^x$ , gdzie $a > 0$ oraz $a \neq 1$ :

dziedziną funkcji jest zbiór $\mathbb{R}$
zbiór wartości to $(0, +\infty)$
wykres ma asymptotę poziomą $y = 0$

In [0]:

p1 = plot((1/3)^x, (x, -3, 3), color='red', title='Funkcja wykładnicza jest malejąca, gdy $a \\in (0, 1)$', legend_label='$y = \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^x$')
p2 = plot(exp(x), (x, -3, 3), color='green', title='Funkcja wykładnicza jest rosnąca, gdy $a > 1$', legend_label='$y = e^x$')

grid = graphics_array([[p1, p2]])
show(grid, ymin=-1, ymax=27, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=0.2, figsize=10)

3.1.6. Funkcje logarytmiczne

Funkcje logarytmiczne są postaci $y = \log_a x$ , gdzie $a > 0$ oraz $a \neq 1$ :

dziedziną jest zbiór $(0, +\infty)$
zbiór wartości to $\mathbb{R}$
wykres ma asymptotę pionową $x = 0$

In [0]:

p1 = plot(log(x, 1/3), (x, 0, 27), color='red', title='Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy $a \\in (0, 1)$', legend_label='$y = \\log_{1/3} x$')
p2 = plot(log(x), (x, 0, 27), color='green', title='Funkcja logarytmiczna jest rosnąca, gdy $a > 1$', legend_label='$y = \\ln x$')

grid = graphics_array([[p1, p2]])
show(grid, ymin=-4, ymax=4, frame=True, gridlines=True, aspect_ratio=2, figsize=10)

Gdy weźmiemy funkcję wykładniczą o danej podstawie $a$ (czyli $y = a^x$ ), wówczas funkcja logarytmiczna o tej samej podstawie $a$ (czyli $y = \log_a x$ ) jest funkcją do niej odwrotną. Możemy zaobserwować, że wykresy obu funkcji są symetryczne względem prostej $y = x$

In [0]:

f_wykladnicza = plot(exp(x), (x, -4, 2), color='green',
                     title='Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie', legend_label='$y = e^x$')
prosta = plot(x, (x, -4, 4), color='blue', linestyle='--', legend_label='$y = x$')
f_logarytmiczna = plot(log(x), (x, 0, 4), color='red', legend_label='$y = \\ln x$')

show(f_wykladnicza + prosta + f_logarytmiczna, ymin=-4, ymax=4, aspect_ratio=1, figsize=10)

3.1.7. Funkcje trygonometryczne

Poniżej przedstawione jest zestawienie funkcji trygonometrycznych

In [0]:

p1 = plot(sin(x), (x, -pi, pi), color='blue', title='$y = \\sin(x)$')
p2 = plot(cos(x), (x, -pi, pi), color='red', title='$y = \\cos(x)$')
p3 = plot(tan(x), (x, -pi, pi), color='green', detect_poles=True, title='$y = \\operatorname{tg}(x)$')
p4 = plot(cot(x), (x, -pi, pi), color='orange', detect_poles=True, title='$y = \\operatorname{ctg}(x)$')
p5 = plot(sec(x), (x, -pi, pi), color='olive', detect_poles=True, title='$y = \\sec(x)$')
p6 = plot(csc(x), (x, -pi, pi), color='black', detect_poles=True, title='$y = \\operatorname{cosec}(x)$')

grid = graphics_array([[p1, p2, p3], [p4, p5, p6]])
show(grid, ymin=-2, ymax=2, frame=True, gridlines=True)

3.1.8. Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do odpowiednio zawężonych funkcji trygonometrycznych:

\arcsin \colon [-1, 1] \ni x \mapsto \arcsin(x) \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]

\arccos \colon [-1, 1] \ni x \mapsto \arccos(x) \in [0, \pi]

\operatorname{arctg} \colon \mathbb{R} \ni x \mapsto \operatorname{arctg}(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)

In [0]:

r1 = plot(arcsin(x), color='blue', title='$y = \\arcsin(x)$')
r2 = plot(arccos(x), color='red', title='$y = \\arccos(x)$')
r3 = plot(arctan(x), (x, -5, 5), color='green', title='$y = \\operatorname{arctg}(x)$')

grid = graphics_array([[r1, r2, r3]])
show(grid, ymin=-pi/2, ymax=pi, frame=True, gridlines=True, figsize=[10, 3])

3.1.9. Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne definiujemy w następujący sposób:

sinus hiperboliczny

y = \sinh x := \frac{e^x - e^{-x}}{2}

cosinus hiperboliczny

y = \cosh x := \frac{e^x + e^{-x}}{2}

tangens hiperboliczny

y = \operatorname{tgh} x := \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Możemy je uzyskać w Sage za pomocą funkcji odpowiednio: sinh(), cosh() oraz tanh().

Zadanie 3.1

a) Na jednym rysunku przedstaw macierz 2x3 wykresów funkcji tak, aby na poszczególnych wykresach znalazły się funkcje należące do sześciu różnych klas funkcji elementarnych. Wykresy narysuj różnymi kolorami, dodaj tytuły wykresów i linie siatki.

b) Na jednym rysunku umieść wykresy przynajmniej trzech funkcji hiperbolicznych. Narysuj wykresy różnymi kolorami oraz dodaj legendę do rysunku.

3.2. Własności funkcji

In [3]:

sinhi =((e^x)-(e^(-x)))/2
coshi =((e^x)+(e^(-x)))/2
tghi =sinh/cosh

In [6]:

plot(sinh())

Out[6]:

3.2.1. Miejsca zerowe

Miejscem zerowym funkcji rzeczywistej $f \colon X \to Y$ (czyli $X, Y \subset \mathbb{R}$ ) nazywamy każdą taką liczbę rzeczywistą $x \in X$ , że

f(x) = 0

Jeżeli funkcja jest wielomianem stopnia $n$ (czyli $y = W(x)$ oraz $\deg (W) = n$ ), to równanie $W(x) = 0$ ma zawsze dokładnie $n$ rozwiązań zespolonych (licząc z krotnościami). Jednak przy wyznaczaniu miejsc zerowych funkcji rzeczywistej interesują nas jedynie rzeczywiste rozwiązania tego równania.

Przykład

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji

f(x) = -x^4 + 3x^3 + 2x^2 - 4x + 5

In [0]:

# definiujemy funkcję f
f(x) = -x^4 + 3*x^3 + 2*x^2 - 4*x + 5

# rozwiązujemy równanie f(x) = 0
rozw = solve(f, x)

# rozw to lista zawierająca rozwiązania równania
f'Liczba rozwiązań równania to: {len(rozw)}'

Uzyskaliśmy 4 rozwiązania, ponieważ mamy równanie wielomianowe 4-tego stopnia. Jednak nie wiemy jeszcze, czy są to rozwiązania rzeczywiste. Po wypisaniu rozwiązań okazuje się, że są one nieczytelne

In [0]:

rozw

Przypomnijmy, że rozwiązania są umieszczone w liście, więc do poszczególnych rozwiązań można odwoływać się za pomocą indeksów

In [0]:

print('Pierwsze rozwiązanie:', rozw[0])
print('Prawa strona pierwszego rozwiązania:', rozw[0].rhs())
print('Przybliżenie numeryczne prawej strony pierwszego rozwiązania:', rozw[0].rhs().n())

Wypiszemy teraz w pętli for przybliżenia numeryczne uzyskanych rozwiązań

In [0]:

for r in rozw:
    print(r.rhs().n())

Widzimy, że otrzymaliśmy dwa rozwiązania zespolone (sugeruje to jednostka urojona I w pierwszych dwóch rozwiązaniach) i dwa rozwiązania rzeczywiste. Możemy wypisać rozwiązania tylko wtedy, gdy są one rzeczywiste, stosując następujący zapis

In [0]:

# enumerate() dodaje nam indeksy do pętli, zaczynając od start
for ind, r in enumerate(rozw, start=1):
    if r.rhs() in RR:  # pytamy czy rozwiązanie jest rzeczywiste
        print(f'Rozwiązanie nr {ind}:', r.rhs().n())

Teraz widzimy, że trzecie i czwarte rozwiązanie w liście rozw to liczby rzeczywiste, czyli szukane miejsca zerowe. Powyższe czynności można ująć w jeszcze bardziej kompaktowy sposób za pomocą listy składanej

In [0]:

# tworzymy zbiór rozwiązań, korzystając ze składni listy składanej
x0 = {r.rhs().n() for r in rozw if r.rhs() in RR}

# w f-stringu można stosować zapis {x = }, wtedy zostanie wypisana nazwa zmiennej wraz z jej wartością
print(f'Miejsca zerowe funkcji {f(x) = } to:', x0)

3.2.2. Wartości najmniejsza i największa

Wartości najmniejszą i największą funkcji w przedziale domkniętym można wyznaczyć za pomocą funkcji ymin() oraz ymax(). Jednak należy zwrócić uwagę na to, że stosujemy te funkcje na wykresie funkcji, a nie na samej funkcji.

Przykład

Znajdziemy najmniejszą oraz największą wartość funkcji kwadratowej $f(x) = -x^2 + 3x +4$ w przedziale $[-4, 5]$ .

In [0]:

# definiujemy funkcję f
f(x) = -x^2 + 3*x + 4

# tworzymy rysunek tej funkcji w zadanej dziedzinie
wykres = plot(f, (x, -4, 5))

# wyznaczamy wartości najmniejszą i największą, stosując funkcje ymin() oraz ymax() na wykresie
print('Wartość najmniejsza:', wykres.ymin())
print('Wartość największa:', wykres.ymax())

3.2.3. Punkty przecięcia

Gdy chcemy wyznaczyć punkty przecięcia dwóch funkcji: $y = f(x)$ oraz $y = g(x)$ , należy rozwiązać układ równań

\left\{ \begin{array}{ll} y = f(x) \\ y = g(x) \end{array} \right.

Wobec tego sprowadza się to do rozwiązania zwykłego równania $f(x) = g(x)$ w celu wyznaczenia pierwszych współrzędnych punktów przecięcia. Następnie można skorzystać z dowolnego wzoru funkcji, aby doliczyć drugie współrzędne.

Przykład

Znajdziemy punkt przecięcia wykresów funkcji $f(x) = \ln x$ oraz $g(x) = \sin x$ .

Najpierw próbujemy rozwiązać to zadanie za pomocą funkcji solve()

In [0]:

f(x) = log(x)
g(x) = sin(x)

solve(f == g, x)

Jako wynik otrzymujemy jedynie wprowadzone równanie, ponieważ równanie to jest dla funkcji solve() zbyt trudne. W tej sytuacji należy rozwiązać równanie numerycznie. Zaczynamy od narysowania wykresów obu funkcji, aby zorientować się, gdzie może się znajdować punkt przecięcia. Po umieszczeniu funkcji w liście wykresy domyślnie zostaną narysowane różnymi kolorami

In [0]:

plot([f, g], (x, 0, 6))

Teraz wiemy, że rozwiązania należy spodziewać się w przedziale $(2, 3)$ . Wobec tego szukamy przybliżenia numerycznego rozwiązania w tym przedziale za pomocą funkcji find_root()

In [0]:

x1 = find_root(f == g, 2, 3)
x1

Teraz doliczamy drugą współrzędną, wykorzystując dowolny wzór

In [0]:

y1 = f(x1)
y1

Stąd szukane współrzędne punktu przecięcia tych dwóch funkcji to

In [0]:

print(f'Współrzędne punktu przecięcia: ({x1}, {y1})')

3.2.4. Funkcja odwrotna

Funkcja $f \colon X \to Y$ jest iniekcją (jest różnowartościowa), gdy

\forall_{x_1, x_2 \in X} \colon \left( f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \right)

Funkcja $f \colon X \to Y$ jest surjekcją, gdy $f(X) = Y$ , czyli gdy zbiór wartości funkcji $f(X)$ jest taki sam jak przeciwdziedzina.

Funkcja $f$ jest bijekcją, gdy jest iniekcją oraz surjekcją.

Funkcja odwrotna $f^{-1}$ istnieje tylko wtedy, gdy funkcja $f$ jest bijekcją.

Przykład

Wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji

y = \frac{1}{x-2} + 1

Funkcja jest iniekcją jako funkcja homograficzna. Można to też sprawdzić z definicji, jednak sposób ten jest odpowiedni tylko dla prostych funkcji. Ogólnie wystarczy narysować wykres danej funkcji – jeżeli istnieje prosta pozioma, która przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, to funkcja nie jest iniekcją

In [0]:

# rozwiązujemy równanie f(x1) = f(x2) ze względu na x1
f(x) = 1 / (x - 2) + 1

# deklarujemy zmienne x1, x2
var('x1 x2')

# stosujemy definicję iniekcji, czyli sprawdzamy czy jedynym rozwiązaniem równania jest x1 = x2
rozw = solve(f(x1) == f(x2), x1)

# iniekcja przyjmuje wartość True / False w zależności od tego czy funkcja jest iniekcją
iniekcja = bool(len(rozw) == 1 and rozw[0].rhs() == x2)

'Funkcja jest iniekcją!' if iniekcja else 'Funkcja nie jest iniekcją.'

Następnie należy określić dziedzinę i przeciwdziedzinę tak, aby funkcja była surjekcją. Wiemy, że asymptotą pionową wykresu jest prosta $x = 2$ , stąd dziedziną jest zbiór $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Podobnie asymptotą poziomą jest prosta $y = 1$ , zatem zbiór wartości to $f(D) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ . Stąd funkcja $f$ jest surjekcją, gdy

f \colon \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}

Wobec tego tak określona funkcja jest bijekcją, więc możemy przejść do wyznaczenia funkcji odwrotnej $f^{-1}$ . Zaczynamy od tego, że funkcja odwrotna ma na odwrót dziedzinę i przeciwdziedzinę (która jest jednocześnie zbiorem wartości)

f^{-1} \colon \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}

Teraz, aby wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej, wystarczy z równości $y = \frac{1}{x-2} + 1$ wyznaczyć zmienną $x$ . Uzyskane wyrażenie to wzór funkcji odwrotnej

y = \frac{1}{x-2} + 1

y-1 = \frac{1}{x-2}

(y-1)(x-2) = 1

x-2 = \frac{1}{y-1}

x = \frac{1}{y-1} + 2

Stąd

f^{-1}(x) = \frac{1}{x-1} + 2

W Sage powyższą czynność możemy wykonać za pomocą poniższych instrukcji

In [0]:

# deklarujemy zmienną y jako symbol
var('y')

# rozwiązujemy równanie y = f(x) ze względu na zmienną x
rozw = solve(y == f(x), x)
rozw

Teraz możemy narysować wykres funkcji odwrotnej

In [0]:

funkcja = plot(f, (x, -4, 4), ymin=-5, ymax=5, detect_poles=True, color='black', legend_label='funkcja')
prosta = plot(x, (x, -4, 4), color='blue', linestyle='--')
funkcja_odwrotna = plot(rozw[0].rhs(), (y, -4, 4), ymin=-4, ymax=4, detect_poles=True, color='red', legend_label='funkcja odwrotna')

funkcja + prosta + funkcja_odwrotna

Zadanie 3.2

a) Dana jest funkcja rzeczywista

f(x) = x^4 - 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x - 3

wyznacz miejsca zerowe funkcji $f$
znajdź wartości najmniejszą i największą funkcji $f$ w przedziale domkniętym $[-1, 2]$
podaj współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z wykresem funkcji $g(x) = e^x$

Wskazówka: funkcja wykładnicza rośnie szybciej, niż dowolna funkcja wielomianowa.

b) Niech

f(x) = \frac{3 - 3e^x}{2 + 2e^x}

wyznacz dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji
sprawdź, czy funkcja jest iniekcją oraz dobierz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji tak, aby funkcja $f$ była bijekcją
napisz wzór funkcji odwrotnej do tej funkcji
narysuj wykres uzyskanej funkcji odwrotnej

In [0]:

In [1]:

y=(x^4)-2*(x^3)+0.5*(x^2)-5*x-3
plot(y)

Out[1]:

3.3. Granice ciągów

3.3.1. Wykres ciągu

Przypominamy, że wykres ciągu jest wykresem punktowym i można go narysować za pomocą funkcji points() albo list_plot().

Przykład

Narysujemy wykresy ciągów

a_n = e^{-n}

b_n = -\sqrt{n^2 - 2n}

c_n = (-1)^n

Ciągi $(a_n)$ i $(c_n)$ są określone dla $n \geq 1$ , natomiast ciąg $(b_n)$ dla $n \geq 2$

In [0]:

var('n')

a(n) = exp(-n)
b(n) = -sqrt(n^2 - 2*n)
c(n) = (-1)^n

Wykres pierwszego ciągu uzyskujemy za pomocą funkcji points(), która generuje poszczególne punkty na wykresie za pomocą listy składanej

In [0]:

# tutaj range() określa, że zaznaczamy wyrazy od a1 do a10
points([(n, a(n)) for n in range(1, 11)], ymin=-0.5, ymax=0.5, legend_label='$a_n = e^{-n}$')

Drugi ciąg jest określony tylko dla $n \geq 2$ , więc należy odpowiednio zmodyfikować wartości liczbowe w funkcji range()

In [0]:

# zaznaczamy wyrazy od b2 do b12
points([(n, b(n)) for n in range(2, 13)], size=30, color='red', legend_label='$b_n = -\\sqrt{n^2 - 2n}$')

Na koniec rysujemy wykres ostatniego ciągu

In [0]:

points([(n, c(n)) for n in range(1, 21)], ymin=-1.5, ymax=1.5, color='green', size=20, title='Wykres ciągu', legend_label='$c_n = (-1)^n$')

3.3.2. Granica ciągu

Granicę ciągu rozumiemy intuicyjnie jako liczbę (lub $\pm \infty$ ), do której zmierzają wyrazy ciągu przy zwiększającym się $n$ (przy $n$ dążącym do nieskończoności). Do obliczania granic ciągów wykorzystujemy funkcję limit(), natomiast symbol nieskończoności otrzymujemy za pomocą dwóch liter "o".

Na podstawie pierwszego wykresu można zauważyć, że wyrazy ciągu $(a_n)$ zbliżają się do zera

\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0

In [0]:

limit(a(n), n=oo)

Wyrazy ciągu $(b_n)$ stają się coraz mniejsze, więc możemy przypuszczać, że

\lim\limits_{n \to \infty} b_n = -\infty

In [0]:

limit(b(n), n=oo)

Natomiast ciąg $(c_n)$ oscyluje pomiędzy liczbami $1$ oraz $-1$ . W tej sytuacji powiemy, że ten ciąg nie ma granicy

\lim\limits_{n \to \infty} c_n \text{ nie istnieje}

In [0]:

limit(c(n), n=oo)

Przykład

Obliczymy granicę ciągu określonego dla $n \geq 1$

a_n = \frac{3\cdot 2^{2n+2} + 1}{20 \cdot 4^{n-1} - 5}

i zaznaczymy ją na wykresie linią przerywaną

In [0]:

a(n) = (3 * 2^(2*n+2) + 1) / (20 * 4^(n-1) - 5)

Próbujemy wyznaczyć granicę za pomocą funkcji limit(), jednak domyślny algorytm (maxima) zwraca błędny wynik

In [0]:

limit(a(n), n=oo)

Ten przykład pokazuje, że nie zawsze można ufać obliczeniom komputerowym. Dobrą praktyką jest sprawdzanie wyników za pomocą różnych algorytmów (na przykład zmieniając wartość argumentu algorithm) lub metod (na przykład poprzez sprawdzenie wyniku za pomocą kalkulatora Wolfram). Tutaj zmienimy algorytm wyznaczania granic, aby uzyskać właściwy wynik

In [0]:

g = limit(a(n), n=oo, algorithm='sympy')
g

Rysujemy wykres ciągu i zaznaczamy granicę na wykresie

In [0]:

ciag = points([(n, a(n)) for n in range(1, 11)], ymin=1.5, ymax=3.5, color='green', size=20, legend_label='wykres ciągu')
granica = plot(g, (x, 0, 10), color='red', linestyle='--', legend_label='granica')

ciag + granica

3.3.3. Definicja granicy ciągu

Formalnie granicę właściwą ciągu liczbowego definiujemy w następujący sposób:

Mówimy, że ciąg $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ jest zbieżny do granicy $g \in \mathbb{R}$ , jeżeli

\forall_{\varepsilon > 0} \; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \; \forall_{n \geq n_0} \colon |a_n - g| < \varepsilon

Przeanalizujemy kolejne elementy tej definicji:

Granica $g$ (jeżeli istnieje) jest zwykłą liczbą rzeczywistą – tutaj definiujemy jedynie tzw. granicę właściwą, czyli pomijamy przypadek $\pm \infty$ .
Wyrażenie $|a_n - g|$ oznacza odległość danego wyrazu ciągu od granicy $g$ . Czyli na przykład dla $n = 20$ jest to odległość 20-stego wyrazu ciągu od granicy.
Chcemy, aby dla dowolnej liczby dodatniej $\varepsilon > 0$ zachodził warunek $|a_n - g| < \varepsilon$ . Zatem chcemy, aby odległość wyrazów ciągu od granicy była mniejsza od zadanej wartości $\varepsilon$ . Powiemy, że wszystkie wartości ciągu będą się mieścić w pewnym pasku epsilonowym.
Istotą definicji jest to, że jest ona spełniona dla dowolnie małych dodatnich wartości $\varepsilon$ . Wobec tego dla granicy $g$ definicja będzie spełniona niezależnie od tego jak mała będzie szerokość paska.
Teraz wystarczy, że wskażemy jedną liczbę naturalną ( $n_0$ ) taką, że dla wszystkich wartości $n$ większych od niej ( $n \geq n_0$ ) spełniony jest powyższy warunek. Czyli wystarczy, że wszystkie wyrazy ciągu od pewnego momentu zmieszczą się w pasku o szerokości $\varepsilon$ , gdzie $\varepsilon$ jest dowolną ustaloną liczbą dodatnią.

Łatwiej jest zrozumieć tę definicję na podstawie rysunku. Weźmy ciąg określony dla $n \geq 1$

a_n = \left( 1 + \frac{1}{2n+5} \right) ^ n

oraz ustalmy wartość $\varepsilon = \frac{1}{4}$ . Zaczniemy od obliczenia granicy tego ciągu

In [0]:

a(n) = (1 + 1/(2*n + 5))^n
g = limit(a(n), n=oo)

print('Granica ciągu jest równa:', g)

Teraz narysujemy wykres ciągu, zaznaczymy granicę oraz pasek epsilonowy wokół niej

In [0]:

epsilon = 1/4

ciag = points([(n, a(n)) for n in range(1, 21)], ymin=-1, ymax=3, color='blue', size=10, legend_label='ciąg', zorder=3)
granica = plot(g, (x, 0, 20), color='green', linestyle='--', legend_label='granica', zorder=2)
pasek = region_plot([y > g-epsilon, y < g+epsilon], (x, 0, 20), (y, -1, 3), incol='pink', zorder=1)

show(ciag + granica + pasek, aspect_ratio=5, figsize=10)

Teraz zwróćmy uwagę na punkt zaznaczony czerwonym kolorem. Od tego punktu włącznie wszystkie wyrazy ciągu znajdują się wewnątrz paska o szerokości $\varepsilon$

In [0]:

n0 = 6
punkt = point((n0, a(n0)), color='red', size=10, zorder=4)

show(ciag + granica + pasek + punkt, aspect_ratio=5, figsize=10)

Wobec tego dla $\varepsilon = \frac{1}{4}$ najmniejszą wartością $n_0$ jest liczba 6, ponieważ wszystkie wyrazy ciągu spełniające warunek $n \geq 6$ mieszczą się w pasku o szerokości $\varepsilon$ . Możemy to jeszcze sprawdzić numerycznie

In [0]:

abs(a(n0) - g).n()

Jest to odległość czerwonego punktu od zielonej linii. Jest ona mniejsza niż $\varepsilon = \frac{1}{4}$ . Zatem w tym wypadku wystarczy wziąć $n_0 = 6$ i definicja granicy dla $g = \sqrt{e}$ jest spełniona. Oczywiście zmiana wartości $\varepsilon > 0$ wpłynie na zmianę wartości $n_0 \in \mathbb{N}$ (kwantyfikator $\exists_{n_0}$ znajduje się po kwantyfikatorze $\forall_{\varepsilon}$ stąd $n_0$ może zależeć od $\varepsilon$ ). Zmniejszenie wartości $\varepsilon$ spowoduje zwężenie paska, a zatem $n_0$ się przesunie w prawą stronę, ale zawsze będzie istnieć.

Zadanie 3.3

a) Dany jest ciąg określony dla $n \geq 4$

a_n = n - \sqrt{n^2 - 4n}

oblicz granicę tego ciągu
narysuj wykres tego ciągu (przynajmniej 20 wyrazów)
zaznacz granicę ciągu linią przerywaną

b) Ciąg $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dany jest wzorem

a_n = \left( 1 - \frac{1}{2n+3} \right) ^{2n}

oblicz granicę tego ciągu
na podstawie wykresu znajdź najmniejszą liczbę $n_0$ , dla której spełniona jest definicja granicy ciągu dla $\varepsilon = \frac{1}{20}$
sprawdź uzyskany wynik za pomocą odpowiednich obliczeń

In [33]:

var("n")
a1(n) = (1 - 1/(2*n+3))^2*n
plot(a1)
g = limit(a1(n),n=oo)
plot(g+a1)

Out[33]:

verbose 0 (3935: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 200 points.
verbose 0 (3935: plot.py, generate_plot_points) Last error message: 'Unable to compute f(1.0)'

In [30]:

var("n")
a(n) = n - sqrt((n^2)-4*n)
points([(n,a1(n)) for n in range(0,20)],color = "black") + points([(n,a(n)) for n in range(4,20)],color="white") + plot(4,-20,20, color="yellow")

Out[30]:

3.4. Granice funkcji

3.4.1. Granica w nieskończoności

Granicę funkcji w nieskończoności rozumiemy tak samo jak granicę ciągu, przy czym tutaj $x$ może dążyć zarówno do minus, jak i plus nieskończoności. Granicę funkcji $f$ w nieskończoności oznaczamy jako $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ (przy $x$ dążącym do $-\infty$ ) lub $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ (przy $x \to +\infty$ ). Policzymy granice dla funkcji

f(x) = \operatorname{arctg} x \quad \text{oraz} \quad g(x) = \frac{x^3 + 1}{1 - x^2}

In [0]:

f(x) = arctan(x)

g1 = limit(f(x), x=-oo)
g2 = limit(f(x), x=oo)

print('Granica przy x dążącym do -oo:', g1)
print('Granica przy x dążącym do +oo:', g2)

In [0]:

funkcja = plot(f, (x, -10, 10), ymin=-2, ymax=2, color='gray', legend_label='$f(x) = \\operatorname{arctg}(x)$')
granica1 = plot(g1, (x, -10, 10), color='red', linestyle='--', legend_label='$\\lim_{x \\to -\\infty} f(x) = -\\dfrac{\\pi}{2}$')
granica2 = plot(g2, (x, -10, 10), color='green', linestyle='--', legend_label='$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = \\dfrac{\\pi}{2}$')

funkcja + granica1 + granica2

Dla funkcji $g$ uzyskujemy granice równe odpowiednio $+\infty$ oraz $-\infty$ . W takim wypadku mówimy, że granica funkcji jest niewłaściwa

In [23]:

limit(a(n), n=oo)

Out[23]:

2

In [0]:

g(x) = (x^3 + 1) / (1 - x^2)

g1 = limit(g(x), x=-oo)
g2 = limit(g(x), x=oo)

print('Granica przy x dążącym do -oo:', g1)
print('Granica przy x dążącym do +oo:', g2)

In [0]:

plot(g, (x, -5, 5), ymin=-10, ymax=10, detect_poles=True, color='black',
     legend_label='$g(x) = \\dfrac{x^3 + 1}{1 - x^2}$', title='Granice funkcji $g$ w nieskończoności są niewłaściwe')

3.4.2. Granica w punkcie

Granicę w punkcie $x_0 \in \mathbb{R}$ oznaczamy symbolem $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ . Jest to liczba (lub $\pm \infty$ ), do której zmierzają wartości funkcji przy $x$ dążącym do $x_0$ . Przeanalizujmy kilka przykładów:

Granica funkcji ciągłej w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie

f(x) = \frac{1}{2}x - 1

Policzymy $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$

In [0]:

f(x) = 1/2*x - 1
x0 = 3

g = limit(f(x), x=x0)
print(f'Granica przy x dążącym do {x0} jest równa:', g)

In [0]:

funkcja = plot(f, (x, -1, 5), color='blue', legend_label='$f(x) = \\dfrac{1}{2}x-1$')
arr1 = arrow((2.5, 0), (3, 0), color='green', arrowsize=2)
arr2 = arrow((3.5, 0), (3, 0), color='green', arrowsize=2)
arr3 = arrow((2.5, f(2.5)), (3, f(3)), color='red', arrowsize=2)
arr4 = arrow((3.5, f(3.5)), (3, f(3)), color='red', arrowsize=2)
punkt = point((3, f(3)), color='black', size=30)
txt1 = text('$x \\to 3$', (3.3, 0.1), color='black', fontsize=12)
txt2 = text('$f(x) \\to \\dfrac{1}{2}$', (2.7, 0.7), color='black', fontsize=12)

funkcja + arr1 + arr2 + arr3 + arr4 + punkt + txt1 + txt2

Granica funkcji w punkcie może istnieć, nawet jeżeli funkcja nie jest określona w tym punkcie

f(x) = \frac{x^3 - 3x - 2}{x + 1}

Policzymy $\lim\limits_{x \to -1} f(x)$

In [0]:

f(x) = (x^3 - 3*x - 2) / (x + 1)
x0 = -1

g = limit(f(x), x=x0)
print(f'Granica przy x dążącym do {x0} jest równa:', g)

Wyrażenie wymierne można skrócić

In [0]:

f(x).simplify_rational()

Wobec tego wykres tej funkcji to parabola bez punktu

In [0]:

funkcja = plot(f, (x, -2, 3), color='blue', legend_label='$f(x) = \\dfrac{x^3 - 3x - 2}{x + 1}$', zorder=1)
bezpunkt = point((-1, 0), color='white', markeredgecolor='blue', size=30, zorder=2)

funkcja + bezpunkt

Granica może być niewłaściwa

f(x) = \frac{e^x}{x^2}

Policzymy $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$

In [0]:

f(x) = exp(x) / x^2
x0 = 0

g = limit(f(x), x=x0)
print(f'Granica przy x dążącym do {x0} jest równa:', g)

In [0]:

plot(f, (x, -2, 2), ymin=-1, ymax=21, detect_poles=True, color='black',
     legend_label='$f(x) = \\dfrac{e^x}{x^2}$', title='Granica przy x dążącym do 0 jest równa $+ \\infty$')

Granica może nie istnieć

f(x) = \frac{1}{x-1}

Policzymy $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$

In [0]:

f(x) = 1 / (x - 1)
x0 = 1

g = limit(f(x), x=x0, algorithm='fricas')  # tutaj tylko algorytm fricas mówi prawdę
print(f'Granica przy x dążącym do {x0} jest równa:', g)

In [0]:

plot(f, (x, -2, 3), ymin=-5, ymax=5, detect_poles=True, color='black',
     legend_label='$f(x) = \\dfrac{1}{x - 1}$', title='Granica zależy od tego, z której strony zmierzamy do liczby 1, więc nie istnieje')

3.4.3. Granice jednostronne

Granicę w punkcie $x_0 \in \mathbb{R}$ możemy również liczyć przy $x$ dążącym do $x_0$ z lewej i prawej strony. W pierwszym wypadku granicę nazywamy lewostronną i oznaczamy $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ , natomiast w drugim mówimy o granicy prawostronnej i oznaczamy ją $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ .

W poprzednim przykładzie granica nie istniała, jednak istnieją granice jednostronne $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$ oraz $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)$

In [0]:

g1 = limit(f(x), x=x0, dir='-')
g2 = limit(f(x), x=x0, dir='+')

print(f'Granica lewostronna w punkcie {x0} jest równa:', g1)
print(f'Granica prawostronna w punkcie {x0} jest równa:', g2)

Uzyskaliśmy różne wartości granic jednostronnych. Granica funkcji w punkcie istnieje tylko wtedy, gdy granice jednostronne istnieją i są równe. Wówczas jest ona równa wspólnej wartości tych granic

\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)

Zbadamy granice jednostronne w punkcie $x_0 = -1$ dla funkcji

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} - x - 3, & \text{dla} \ x < -1 \\ x^2 - 2x - 4, & \text{dla} \ x \geq -1 \end{array} \right.

In [0]:

# definiujemy odpowiednie funkcje
f1(x) = -x - 3
f2(x) = x^2 - 2*x - 4

Z lewej strony punktu $x_0 = -1$ obowiązuje wzór funkcji $f_1$ , więc granicę lewostronną wyznaczamy, korzystając z tego wzoru

In [0]:

x0 = -1

g1 = limit(f1(x), x=x0, dir='-')
print(f'Granica lewostronna w punkcie {x0} jest równa:', g1)

Natomiast po prawej stronie mamy wzór funkcji $f_2$ , wobec tego stosujemy go w celu wyznaczenia granicy prawostronnej

In [0]:

g2 = limit(f2(x), x=x0, dir='+')
print(f'Granica prawostronna w punkcie {x0} jest równa:', g2)

Wykres funkcji znamy z poprzednich zajęć

In [0]:

# wykres funkcji liniowej po lewej stronie
p1 = plot(f1, (x, -4, -1), zorder=1)
# punkt reprezentujący kółko otwarte po lewej stronie
p2 = point((-1, -2), color='white', markeredgecolor='blue', size=20, zorder=2)
# wykres funkcji kwadratowej po prawej stronie
p3 = plot(f2, (x, -1, 4), zorder=1)
# punkt reprezentujący zamalowane kółko po prawej stronie
p4 = point((-1, -1), color='blue', size=20, zorder=2)

p1 + p2 + p3 + p4

3.4.4. Ciągłość funkcji

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0 \in \mathbb{R}$ , jeżeli zachodzi warunek

\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Zatem funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ , gdy granica funkcji w punkcie $x_0$ istnieje i jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Przykład

Zbadamy ciągłość funkcji

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3 - x}{| x + 1 |}, & \textrm{dla} \ x \neq -1 \\ 2, & \textrm{dla} \ x = -1 \end{array} \right.

Funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie, więc wystarczy sprawdzić ciągłość w punkcie $x_0 = -1$

In [0]:

f(x) = (x^3 - x) / abs(x + 1)
x0 = -1

g1 = limit(f(x), x=x0, dir='-')
g2 = limit(f(x), x=x0, dir='+')

print(f'Granica lewostronna w punkcie {x0} jest równa:', g1)
print(f'Granica prawostronna w punkcie {x0} jest równa:', g2)

Otrzymujemy różne granice jednostronne, więc funkcja nie jest ciągła w punkcie $x_0 = -1$

In [0]:

ciagla = bool(g1 == g2 == 2)
wniosek = f'Funkcja {"" if ciagla else "nie "}jest ciągła w punkcie {x0 = }'
wniosek

Narysujemy wykres tej funkcji

In [0]:

lewy = plot(f, (x, -2, x0), zorder=1, title=wniosek)
pkt_lewy = point((x0, g1), color='white', markeredgecolor='blue', size=20, zorder=2)
pkt_prawy = point((x0, g2), color='blue', size=20, zorder=2)
prawy = plot(f, (x, x0, 2), zorder=1)

lewy + pkt_lewy + pkt_prawy + prawy

Zadanie 3.4

a) Oblicz granice

\bullet\ \lim\limits_{x \to -\infty} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \quad \bullet\ \lim\limits_{x \to -1} \frac{2x^2 + 3x + 1}{(3x-1)(x+1)} \quad \bullet\ \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2 - 2x} \quad \bullet\ \lim\limits_{x \to 1^-} \frac{\ln x}{|3x - 3|}

Narysuj wykres jednej wybranej funkcji wraz z interpretacją graficzną granicy.

b) Sprawdź, czy funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0 = -2$

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x + 2}, & \textrm{dla} \ x \neq -2 \\ -2, & \textrm{dla} \ x = -2 \end{array} \right.

Wykonaj rysunek tej funkcji.

In [37]:

f(x) = x*sin(1/x)
g = limit(f(x),x=-oo)
plot(f(x)+g,-10,10)

Out[37]:

3.5. Asymptoty

3.5.1. Asymptota pozioma

Asymptota wykresu funkcji to prosta, do której wykres funkcji się zbliża w nieskończoności. Asymptoty dzielimy na:

asymptoty poziome
asymptoty pionowe
asymptoty ukośne

Asymptoty mogą być również lewo-, prawo- lub obustronne, w zależności od tego, z której strony liczymy granicę.

Prostą $y = c$ nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji $f$ , gdy

\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = c \in \mathbb{R}

Zatem prosta jest asymptotą poziomą, jeżeli którakolwiek granica w nieskończoności jest liczbą rzeczywistą. Jeżeli jest to granica przy $x \to -\infty$ mówimy o asymptocie poziomej lewostronnej, natomiast dla $x \to +\infty$ mamy asymptotę poziomą prawostronną. Gdy obie granice istnieją i są równe, wówczas otrzymujemy asymptotę poziomą obustronną. Podobne nazewnictwo obowiązuje w przypadku innych asymptot.

Przykład

Znajdziemy wszystkie asymptoty poziome wykresu funkcji

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2x^2}{x-1}, & \textrm{dla} \ x < 1 \\ \phantom{.} \\ \frac{3x - 3}{x + 1}, & \textrm{dla} \ x \geq 1 \end{array} \right.

In [0]:

# definiujemy funkcje
f1(x) = 2*x^2 / (x - 1)
f2(x) = (3*x - 3) / (x + 1)

Granicę przy $x \to -\infty$ wyznaczamy, korzystając z pierwszego wzoru (ponieważ dotyczy lewego fragmentu funkcji)

In [0]:

c1 = limit(f1(x), x=-oo)
print('Granica przy x dążącym do -oo:', c1)

W wyniku uzyskujemy $-\infty$ , zatem nie ma asymptoty poziomej lewostronnej (aby istniała, granica powinna być liczbą rzeczywistą). Teraz liczymy granicę przy $x \to +\infty$ , wykorzystując drugi wzór

In [0]:

c2 = limit(f2(x), x=oo)
print('Granica przy x dążącym do +oo:', c2)

Mamy $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ , więc asymptotą poziomą prawostronną jest prosta $y = 3$ . Zaznaczymy ją na rysunku

In [0]:

funkcja = plot(f1, (x, -5, 1), color='blue', ymin=-9, ymax=5, legend_label='wykres funkcji $f$', zorder=1)
funkcja += plot(f2, (x, 1, 11), color='blue', zorder=1)
funkcja += point((1, f2(1)), color='blue', size=20, zorder=2)

asymptota_pozioma = plot(3, (x, -5, 11), color='green', linestyle='--', legend_label='asymptota pozioma $y = 3$')

funkcja + asymptota_pozioma

3.5.2. Asymptota pionowa

Prostą $x = x_0$ nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji $f$ , jeżeli

\lim\limits_{x \to x_0^{\pm}} f(x) = \pm \infty

Zatem prosta jest asymptotą pionową, jeżeli przynajmniej jedna z granic jednostronnych w punkcie $x_0$ jest równa $-\infty$ albo $+\infty$ . Asymptot pionowych będziemy szukali w punktach nienależących do dziedziny, w punktach na granicy dziedziny lub w punktach nieciągłości. Tylko tam granica jednostronna funkcji w punkcie może być równa $\pm \infty$ , ponieważ pamiętamy, że granica funkcji ciągłej w punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli jest skończona.

Przykład

Znajdziemy wszystkie asymptoty pionowe wykresu funkcji $f$ .

Dziedziną funkcji $f_1$ jest zbiór $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ , ponadto $x_0 = 1$ jest punktem nieciągłości, więc na pewno należy sprawdzić ten punkt.

Dziedziną funkcji $f_2$ jest zbiór $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ , jednak jest ona określona dla $x \geq 1$ , więc nie trzeba szukać asymptoty $x = -1$ .

In [0]:

x0 = 1

# stosujemy wzór funkcji f1
g1 = limit(f1(x), x=x0, dir='-')
# stosujemy wzór funkcji f2
g2 = limit(f(x), x=-1, dir='-')

print(f'Granica lewostronna w punkcie {x0} jest równa:', g1)
print(f'Granica prawostronna w punkcie {x0} jest równa:', g2)

Granica lewostronna jest niewłaściwa ( $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ ), wobec tego wykres funkcji $f$ ma asymptotę pionową lewostronną $x = 1$ . Zaznaczamy ją na rysunku (przy okazji zauważmy, że asymptota (dowolna) może przecinać wykres funkcji)

In [0]:

asymptota_pionowa = line([(1, -10), (1, 6)], color='red', linestyle='--', legend_label='asymptota pionowa $x = 1$')

funkcja + asymptota_pionowa

3.5.3. Asymptota ukośna

Prosta $y = ax+b$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji $f$ , jeżeli

a = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \in \mathbb{R} \quad \text{oraz} \quad b = \lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x) - ax] \in \mathbb{R}

Zatem prosta jest asymptotą ukośną, jeżeli istnieje przynajmniej jedna granica w nieskończoności taka, że $a$ i $b$ obliczone z powyższych wzorów są jednocześnie liczbami rzeczywistymi. Jeżeli w $+\infty$ mamy już asymptotę poziomą (a tak jest w naszym przykładzie), to tam już nie będzie asymptoty ukośnej. Zatem wystarczy sprawdzić granice w $-\infty$ w poszukiwaniu asymptoty ukośnej lewostronnej.

Przykład

Znajdziemy wszystkie asymptoty ukośne wykresu funkcji $f$ .

Tak jak wspomniano wyżej, będziemy szukać tylko asymptoty ukośnej lewostronnej, ponieważ asymptotę poziomą prawostronną już mamy

In [0]:

# korzystamy ze wzoru funkcji f1, ponieważ liczymy granicę w -oo

a = limit(f1(x)/x, x=-oo)
print('Współczynnik kierunkowy:', a)

b = limit(f1(x) - a*x, x=-oo)
print('Wyraz wolny:', b)

y = a*x + b
print(f'Asymptota ukośna lewostronna: {y = }')

Zaznaczamy uzyskaną prostą na rysunku

In [0]:

asymptota_ukosna = plot(2*x + 2, (x, -5, 11), color='black', linestyle='--', legend_label='asymptota ukośna $y = 2x + 2$')

funkcja + asymptota_ukosna

Ostatecznie otrzymujemy następujące asymptoty

In [0]:

funkcja + asymptota_pozioma + asymptota_pionowa + asymptota_ukosna

Zadanie 3.5

Rozważmy funkcję

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{4 + 2x - x^2}{1 - x^2}, & \textrm{dla} \ x < -1 \\ \phantom{.} \\ \frac{2x^2}{x+1}, & \textrm{dla} \ x > -1 \end{array} \right.

a) znajdź wszystkie asymptoty wykresu funkcji $f$

b) narysuj wykres funkcji $f$ w przedziale $[-5, 5]$ , na wykresie zaznacz asymptoty linią przerywaną

In [22]:

var("x")
f(x) = (4+2*x-x*x)/(1-x*x)
g(x) = (2*x*x)/(x+1)
a = line([(-1, -5), (-1, 5)], color='red', linestyle='--')
plot(f,(x,-5,-1),ymax=5,ymin=-5) + plot(g,(x,-1,5),color="green",ymax=5,ymin=-5) + a

Out[22]:

3.6. Pochodne funkcji

3.6.1. Pochodna funkcji

Pochodna funkcji jest funkcją. Jest to funkcja, która przyporządkowuje każdemu argumentowi wartość pochodnej funkcji w tym punkcie. Pochodne funkcji możemy liczyć za pomocą funkcji diff().

Przykład

Policzymy pochodną funkcji

f(x) = \sqrt[3]{x}

In [23]:

f(x) = x^(1/3)

df = diff(f, x)
pretty_print(df)

Out[23]:

$\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{1}{3 \, x^{\frac{2}{3}}}$

Możemy również liczyć pochodne wyższych rzędów, czyli pochodne funkcji pochodnych. Do oznaczenia zwykłej pochodnej (czyli pochodnej pierwszego rzędu) stosujemy wiele różnych zapisów:

\bullet\ f'(x) \quad \bullet\ \overset{\bullet}{f} \quad \bullet\ \frac{df}{dx} \quad \bullet\ f_x \quad \bullet\ D_f \quad \text{itd.}

Natomiast pochodną drugiego rzędu zapisujemy jako:

\bullet\ f''(x) \quad \bullet\ \overset{\bullet\bullet}{f} \quad \bullet\ \frac{d^2f}{dx^2} \quad \bullet\ f_{xx} \quad \bullet\ D^2_f \quad \text{itd.}

Ogólnie pochodną $n$ -tego rzędu oznaczamy $f^{(n)}(x)$ .

Przykład

Policzymy pochodną drugiego rzędu funkcji $f(x) = \sin x$ oraz pochodną 10-tego rzędu funkcji $g(x) = e^x$

In [39]:

f(x) = sin(x)

fxx = diff(f, x, 2)
fxx

Out[39]:

x |--> -sin(x)

Funkcja $y = e^x$ jest niewrażliwa na operację liczenia pochodnych

In [0]:

g(x) = exp(x)

gxxxxxxxxxx = diff(g, x, 10)
gxxxxxxxxxx

W matematyce występuje ważne oznaczenie funkcji klasy $\mathcal{C}^n$ . Mówimy, że funkcja $f \colon (a, b) \to \mathbb{R}$ jest klasy $\mathcal{C}^n(a, b)$ (co oznaczamy $f \in \mathcal{C}^n(a, b)$ ), jeżeli funkcja $f$ ma w przedziale $(a, b)$ $n$ ciągłych pochodnych.

Wobec tego funkcja klasy $\mathcal{C}^0$ to funkcja ciągła. Funkcja klasy $\mathcal{C}^1$ to funkcja ciągła, której pochodna też jest ciągła itd. Powiemy też, że funkcje klasy $\mathcal{C}^{\infty}$ to funkcje, dla których pochodną można liczyć nieskończenie wiele razy (np. wielomiany czy funkcja $y = e^x$ ) – jest to klasa funkcji gładkich.

3.6.2. Pochodna funkcji w punkcie

Pochodna funkcji w punkcie $x_0 \in \mathbb{R}$ jest liczbą. Liczba ta jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej stycznej do wykresu w tym punkcie. Jeżeli pochodna w punkcie $x_0$ istnieje, mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ , to jest też w tym punkcie ciągła.

Dla większości funkcji pochodną funkcji w punkcie można obliczyć jako $f'(x_0)$ , czyli najpierw należy wyznaczyć pochodną funkcji, a następnie policzyć jej wartość dla argumentu $x_0$ .

Przykład

Wyznaczymy pochodną funkcji

f(x) = x^3 - 2x + 1

w punkcie $x_0 = -1$ , a następnie przedstawimy interpretację graficzną tej pochodnej

In [0]:

f(x) = x^3 - 2*x + 1
x0 = -1

df = diff(f, x)
print('Pochodna funkcji:', df)

a = df(x0)
print(f'Pochodna funkcji w punkcie {x0}:', a)

Pochodna $f'(-1)$ to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu w punkcie $x_0 = -1$ . Ponadto prosta ta przechodzi przez punkt $(x_0, f(x_0))$

In [0]:

(x0, f(x0))

Stąd możemy wyznaczyć równanie stycznej

y = ax + b

a = f'(-1) = 1

y = x + b

2 = -1 + b

b = 3

Wobec tego styczną do wykresu funkcji w punkcie $x_0 = -1$ jest prosta

y = x + 3

In [0]:

funkcja = plot(f, (x, -2, 1), title='Interpretacja graficzna pochodnej funkcji w punkcie', legend_label='funkcja $f(x) = x^3 - 2x + 1$')
styczna = plot(x + 3, (x, -2, 1), color='red', legend_label='styczna $y = x + 3$')
tekst = text("$f'(-1) = 1$", (-1, 2.3), color='black')

funkcja + styczna + tekst

3.6.3. Równanie stycznej do wykresu funkcji

Równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ dane jest wzorem

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Przykład

Wyznaczymy styczną do wykresu funkcji $f(x) = -x^3 + 2x^2 - 3x + 4$ w punkcie $x_0 = -2$

In [0]:

f(x) = -x^3 + 2*x^2 - 3*x + 4
x0 = -2

df = diff(f, x)
print('Pochodna funkcji:', df)

styczna = df(x0) * (x - x0) + f(x0)
print(f'Równanie stycznej w punkcie {x0 = } to: y = {styczna}')

3.6.4. Monotoniczność funkcji

Ze względu na związek pochodnej funkcji w punkcie ze współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej możemy dojść do następującego wniosku. Jeżeli prosta styczna jest rosnąca, to funkcja też jest. Zatem, aby funkcja była rosnąca wystarczy, aby $a > 0$ , czyli $f'(x_0) > 0$ . Stąd otrzymujemy zależność

jeżeli $f'(x) < 0$ dla $x \in (a, b)$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale malejąca
jeżeli $f'(x) = 0$ dla $x \in (a, b)$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale stała
jeżeli $f'(x) > 0$ dla $x \in (a, b)$ , to funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca

Przykład

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji

f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 2

In [0]:

f(x) = x^3 + 3*x^2 - 9*x - 2

df = diff(f, x)
print('Pochodna funkcji:', df)

Funkcja jest malejąca, gdy pochodna jest ujemna

In [0]:

# rozwiązujemy nierówność f'(x) < 0
malejaca = solve(df < 0, x)
malejaca

Funkcja jest rosnąca, gdy pochodna jest dodatnia

In [0]:

# rozwiązujemy nierówność f'(x) > 0
rosnaca = solve(df > 0, x)
rosnaca

Określamy przedziały monotoniczności

In [0]:

print('Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów:', malejaca)
print('Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów:', rosnaca)

Na jednym rysunku zaznaczymy funkcję oraz jej pochodną, aby zaobserwować tę zależność

In [0]:

funkcja = plot(f, (x, -5, -3), color='green', title='Związek znaku pochodnej z monotonicznością', legend_label='funkcja rośnie')
funkcja += plot(f, (x, -3, 1), color='red', legend_label='funkcja maleje')
funkcja += plot(f, (x, 1, 3), color='green')

pochodna = plot(df, (x, -5, 3), color='orange', legend_label='pochodna')

funkcja + pochodna

Zadanie 3.6

a) Wyznacz pochodne funkcji $f$ rzędu $n$

$f(x) = \log_2 x, \quad n = 1$ ;
$f(x) = x^x, \quad n = 2$ ;
$f(x) = x \sin x, \quad n = 3$ ;
$f(x) = e^{-2x}, \quad n = 4$ .

b) Znajdź styczną do wykresu funkcji

f(x) = \frac{\sin x}{x}

w punkcie $x_0 = 2\pi$ . Narysuj funkcję $f$ wraz z zaznaczoną styczną.

c) Określ przedziały monotoniczności funkcji

f(x) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 11

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.

Analiza Matematyczna – Pracownia Specjalistyczna

Witali Bułatow

3. Pochodne i granice funkcji

3.1. Funkcje elementarne

3.1.1. Ważne klasy funkcji

3.1.2. Funkcje wielomianowe

3.1.3. Funkcje wymierne

3.1.4. Funkcje niewymierne

3.1.5. Funkcje wykładnicze

3.1.6. Funkcje logarytmiczne

3.1.7. Funkcje trygonometryczne

3.1.8. Funkcje cyklometryczne

3.1.9. Funkcje hiperboliczne

3.2. Własności funkcji

3.2.1. Miejsca zerowe

3.2.2. Wartości najmniejsza i największa

3.2.3. Punkty przecięcia

3.2.4. Funkcja odwrotna

3.3. Granice ciągów

3.3.1. Wykres ciągu

3.3.2. Granica ciągu

3.3.3. Definicja granicy ciągu

3.4. Granice funkcji

3.4.1. Granica w nieskończoności

3.4.2. Granica w punkcie

3.4.3. Granice jednostronne

3.4.4. Ciągłość funkcji

3.5. Asymptoty

3.5.1. Asymptota pozioma

3.5.2. Asymptota pionowa

3.5.3. Asymptota ukośna

3.6. Pochodne funkcji

3.6.1. Pochodna funkcji

3.6.2. Pochodna funkcji w punkcie

3.6.3. Równanie stycznej do wykresu funkcji

3.6.4. Monotoniczność funkcji

Product

Resources

Company

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more, all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.

Analiza Matematyczna – Pracownia Specjalistyczna

Witali Bułatow

3. Pochodne i granice funkcji

3.1. Funkcje elementarne

3.1.1. Ważne klasy funkcji

3.1.2. Funkcje wielomianowe

3.1.3. Funkcje wymierne

3.1.4. Funkcje niewymierne

3.1.5. Funkcje wykładnicze

3.1.6. Funkcje logarytmiczne

3.1.7. Funkcje trygonometryczne

3.1.8. Funkcje cyklometryczne

3.1.9. Funkcje hiperboliczne

3.2. Własności funkcji

3.2.1. Miejsca zerowe

3.2.2. Wartości najmniejsza i największa

3.2.3. Punkty przecięcia

3.2.4. Funkcja odwrotna

3.3. Granice ciągów

3.3.1. Wykres ciągu

3.3.2. Granica ciągu

3.3.3. Definicja granicy ciągu

3.4. Granice funkcji

3.4.1. Granica w nieskończoności

3.4.2. Granica w punkcie

3.4.3. Granice jednostronne

3.4.4. Ciągłość funkcji

3.5. Asymptoty

3.5.1. Asymptota pozioma

3.5.2. Asymptota pionowa

3.5.3. Asymptota ukośna

3.6. Pochodne funkcji

3.6.1. Pochodna funkcji

3.6.2. Pochodna funkcji w punkcie

3.6.3. Równanie stycznej do wykresu funkcji

3.6.4. Monotoniczność funkcji

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.